Simulácie mechatronických systémov

Vybrané časti

Ing.Martin GaranPhD.

Príklad č.  1.7:

Uvažujme mechanický systém zobrazený na obrázku. Systém pozostáva z dvoch hmôt budených silami

a navyše v spodnej časti je hmota m₂ kinematicky budená posunutím

Nájdite stavový opis daného systému, ak predpokladáme, že:

riešte v Simulinku.

Napíšme komponentné rovnice systému

pre hmotu m₁ musí platiť

pre hmotu m₂ musí platiť

Takže dostávame systém dvoch diferenciálnych rovníc druhého rádu

Pre zápis v Simulinkovskom formáte musíme upraviť rovnice do nasledovného tvaru

Nájdime matice stavového opisu, teraz iným spôsobom, ako sme boli doteraz zvyknutí a to priamo zo známych matíc systému M, D, K, a matice vstupu S.

Predtým, než to uskutočníme musíme si  stanoviť tvar uvažovaného vstupného a výstupného vektora. Uvažujeme teda, že vstupný vektor F(t) a výstupný vektor y(t) majú nasledovné poradie premenných.

Poznamenajme, že výstupný vektor nadobudne tvar stavových premenných a ich derivácií, v prípade, že uvažujeme vypočítať matice C a D navrhovaným skriptom v predchádzajúcej teórií. Matice C a D je však možné určiť  aj vlastným spôsobom ich tvar závisí od zvoleného tvaru výstupného vektora.

Ak si zvolíme cestu navrhovaného skriptu, potom premenné vo výstupnom vektore y budú usporiadané v poradí, v akom sa nachádzajú diferenciálne rovnice pri tvorbe maticového tvaru. To znamená, že vo výstupnom vektore sa najskôr objavia výchylky a potom skupiny derivácií, zoradené opäť podľa riadkov systému a to až po n-1 stupne najvyšších derivácií príslušnej diferenciálnej rovnice, v prípade, že všetky diferenciálne rovnice sú rovnakého stupňa. Ak neplatí, že diferenciálne rovnice majú rovnaký stupeň je nutné tvoriť matice C a D bežným spôsobom.

Predtým, než začneme tvoriť maticový tvar systému, upravme pôvodný systém diferenciálnych rovníc do nasledovného tvaru a to zatriedeným neznámych na ľavú stranu a vstupných veličín na pravú stranu rovnice

takže potom dostávame maticový tvar systému

To znamená, že matice systému M, D, K a S sú nasledovného tvaru

Prostredníctvom nasledovného skriptu je teraz možné vypočítať z matíc systému M, D, K a S odpovedajúce matice stavového opisu A, B, C, D.

Vytvorme teraz blokovú schému pre riešenie simulácie daného systému, predchádzajúci skript využijeme, ako skript pre načítanie vstupných parametrov systému do modelu workspace. Pri tvorbe schémy budeme vychádzať z nasledovného systému

V danej schéme boli použité na zjednodušenie bloky Goto a From pre prenos globálne zadefinovaných premenných, ďalej nasledovné subsystémy pre riešenie diferenciálnej rovnice DR1 a DR2.

A takisto subsystém pre výpočet komponentných síl F_k1, F_k2, F_b1, F_b2 počítaných z globálne prenesených signálov simulovaných veličín y₁, y₂, dy₁, dy₂.

Každý subsystém komponentnej sily má identický tvar, v ktorom sme namiesto zosilňovacieho bloku gain použili aproximačný blok pod názvom Lookup Table Dynamic, ktorý je možné nájsť v knižnici Lookup Tables.

Týmto blokom je možné aproximovať funkciu jednej premennej na základe vypranej metódy.

V našom prípade sme túto funkciu využili na výpočet funkcií komponentných síl F_k alebo F_b, ktoré sa vypočítajú, ako súčin vstupnej výchylky y , resp. rýchlosti y´ a súčiniteľa tuhosti k resp. tlmenia b t. j.

Parametre tuhostí (tlmenie) sa pre odpovedajúce  y  resp. y´ odčítajú z grafu aproximovanej krivky získanej z definovanej množiny x_dat a y_dat, pozri nasledujúci obrázok.

Výhodou použitia takéhoto bloku Lookup table, pre výpočet komponentných síl je v tom, že máme pripravený model nielen na riešenie systému lineárneho charakteru, ale takisto, kedykoľvek zmeníme množinu x_dat a y_dat, za inú než lineárnu krivku, dostávame riešenie systému nelineárneho charakteru, ináč povedané v tomto prípade uvažujeme nelineárne charakteristiky pružiny resp. tlmiča.

Subsystém pre výpočet komponentnej sily, ktorý je rovnaký vo všetkých prípadoch s použitím bloku Lookup table dynamic je znázornený na nasledujúcom obrázku.

Riešenie simulácie systému definovaného v stavovom opise, ktoré je identické z riešením metódou postupnej integrácie je znázornené na nasledujúcom obrázku.

Príklad č.  2.1:

Elastická loptička hmotnosti m = 0,1kg zobrazená na obrázku s koeficientom reštitúcie K = 0,8, je vrhnutá smerom nahor z počiatočnej výšky x₀ = 10m, počiatočnou rýchlosťou V₀ = 15ms^-1. Po dopade na zemský povrch loptička stráca časť energie a je spätne odrazená smerom nahor.

Popíšte pohyb takejto loptičky matematickým modelom a vytvorte simuláciu v Simulinku prostredníctvom blokovej schémy.

Stratu energie je možné riadiť koeficientom reštitúcie K. V prípade, že K (0,1) hovoríme o pružne-plastickej loptičke, ak koeficient  K = 1 potom sa loptička správa,  ako ideálne elastická a napokon, ak  K = 0 potom loptička charakterizuje ideálne plastickú loptičku pozri obrázok.

Matematicky je možné pohyb loptičky popísať nasledovnou diferenciálnu rovnicou, ktorá vo všeobecnosti nezávisí na hmotnosti danej loptičky

Rýchlosť pohybu loptičky sa bude postupne znižovať na základe koeficientu reštitúcie K a navyše pri každom odraze sa zmení smer dopadovej rýchlosti na odrazovú  rýchlosť, čo je možné v simulácií meniť prostredníctvom rovnice

Vstupné parametre pre riešenie danej simulácie uvažujeme zadané v modelovom workspace.

Bloková schéma pre riešenie pohybu danej diferenciálnej rovnice je znázornená na nasledujúcom obrázku

Riešenie pohybu s aickou podmienkou zastavenia pri nekonečne dlhom čase simulácie (inf), je možné vidieť na nasledujúcich grafoch.